スピン

古典解析力学では、系が回転対称性をもつときにネーターの定理から導かれる保存量を角運動量と呼ぶのであった。

量子力学的粒子は固有角運動量を持つことが知られている。3次元空間での回転をつかさどるLie代数はsl2=su2=so3である。それぞれの軸に対する無限小回転の生成子をsx、sy、szとする。すると、系が回転対称性をもつということは系のハミルトニアンのそれらが可換であるということである。しかし、sx、sy、szは可換ではないのでそれらの同時固有ベクトルをとることはできない。よって、普通はszだけを対角化する。すると、s+=sx+isy,s-=sx-isyはszの固有値の上昇・下降作用素になる。これは普通の最高ウェイト理論と同じ話の展開になる。よって、系をsl2の既約表現に分解できる。最高ウェイトを系のスピンとよぶ。

スピン統計定理という重要な定理がある。これは系に対するある程度の仮定の下で、スピン整数・半整数それぞれの多粒子系がボゾン・フェルミオンとしてふるまうという主張である。